Rumus Teorema Vieta dan Contoh Soalnya

Ilustrasi Teorema Vieta, Foto: Unsplash/h5800.

Dalam matematika, Teorema Vieta adalah rumus yang membahas mengenai jumlah dan hasil kali akar-akar suatu persamaan polinomial. Hasilnya didapatkan dari informasi pada koefisien-koefisien dalam persamaan polinomialnya.

Menurut Kamus Matematika SMP/SMA, Lina Purwati, S.Pd (2020: 118), Teorema ini dinamai dari François Viète, matematikawan Prancis. Biasanya, teorema ini digunakan untuk persamaan kuadrat, kubik, atau polinomial dengan derajat yang lebih tinggi.

Rumus Teorema Vieta

Ilustrasi Teorema Vieta, Foto: Unsplash/vitacopS.

François Viète adalah seorang matematikawan dan astronom amatir asal Prancis yang dikenal sebagai pelopor notasi aljabar sistematis melalui karyanya In artem analyticam isagoge. Selain kontribusinya dalam matematika, ia juga berperan dalam memecahkan kode sandi.

François Viète dikenal akan rumusnya bernama Teorema Vieta. Rumus tersebut berisi serangkaian hubungan antara akar-akar suatu persamaan polinomial dengan koefisiennya.

Adapun rumus jumlah dan hasil kali akar-akar suatu persamaan polinomial yaitu sebagai berikut.

1. Persamaan Kuadrat

ax2 + bx + c = 0

dengan a ≠ 0, akar-akar persamaan adalah x1 dan x2. Teorema Vieta menyatakan:

Jumlah akar (x1 + x2):

x1 + x2 = − (b/a)

Hasil akar (x1 + x2):

x1x2 = c/a

2. Persamaan Kubik

ax3 x bx2 + cx + d = 0

X1 + x2 + x3 = - (b/a)

X1x2 +x1x3 + x2x3 = c/a

X1x2x3 = - (d/a)

3. Persamaan Kuartik (Quartic)

Ax4 + bx3 + cx3 + dx + e = 0

X1 +x2 + x3 + x4 = -(b/a)

X1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = - (d/a)

X1x2x3x4 = e/a

4. Persamaan Kuintik (Quintic)

Ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0

X1 + x2 + x3 + x4 + x5 + - (b/a_

X1x1 + x1x3 + x1x4 + x1x5 +x2x3 +x2x4 + x2x5 + x3x4 + x3x5 + x4x5 = c/a

X1x2x3 + x1x2x4 + x1x2x5 + x1x3x4 + x1x3x5 + x1x4x5 + x2x3x4 + x2x3x5 +x2x4x5 + x3x4x5 = - (d/a)

X1x2x3x4 + x1x2x3x5 + x1x2x4x5 + x1x3x4x5 + x2x3x4x5 = e/a

X1x2x3x4x5 = - (f/a)

Contoh:

Akar-akar persamaan kubik (fx) = x3 – 9x2 + kx -15 membentuk barisan aritmatika. Nikai k sama dengan ...

Jawab:

Misal x1 = a, x2 = a + b, x3 = a + 2b

X1 + x2 + x3 = - (b/a) = 9

a + a + b + a +ab = 9

3a + 3b = 9

a + b = 3

a = 3 – b

Baca Juga: Rumus Aturan Sinus dan Cosinus dalam Pelajaran Matematika

Itulah rumus Teorema Vieta dan contohnya. Agar lebih mudah memahaminya, maka bisa memperbanyak latihan soal. (Umi)