Materi Vektor Matematika Kelas 10: Pengertian, Jenis, dan Operasinya

Materi Vektor Matematika Kelas 10. Foto: Pexels

Pernahkah kamu melihat rambu penunjuk jalan di jalan raya? Misalnya, penanda yang mengarahkan kamu ke kanan dan menempuh jarak sejauh 8 km jika ingin ke bandara.

Dari penunjuk jalan itu, terdapat dua hal yang harus diperhatikan, yaitu arah dan jarak (besar) yang harus ditempuh. Nah, besaran yang mempunyai arah dan besar biasanya dinyatakan dengan ruas garis berarah. Ruas garis berarah tersebut dinamakan vektor.

Simak penjelasan selengkapnya mengenai materi vektor dalam matematika di bawah ini.

Pengertian Vektor

Pengertian Vektor. Foto: Pexels

Merangkum dari Modul Matematika Peminatan Kelas X yang disusun Entis Sutisna, S.Pd., konsep vektor pada IPA Fisika adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Besaran yang hanya memiliki besar saja disebut skalar, seperti berat, panjang, luas dan lain-lain.

Sementara itu, konsep vektor dalam metematika adalah ruas garis berarah yang panjangnya adalah jarak dari titik pangkal ke titik ujung dan arahnya adalah arah dari pangkal ke ujung atau perpanjangannya.

Panjang ruas garis berarah menyatakan besar vektor, sedangkan arah vektor dinyatakan oleh kemiringan ruas garis dan anak panahnya.

Baca Juga: Pengertian dan 2 Contoh Soal Perbandingan Vektor dalam Matematika

Jenis-jenis Vektor Matematika

Jenis-jenis Vektor Matematika. Foto: Pexels

Jenis-jenis vektor dalam cabang ilmu Matematika adalah sebagai berikut.

1. Vektor Nol

Vektor nol merupakan vektor yang memiliki panjang nol dan tidak memiliki arah vektor yang jelas. Vektor ini berbeda dengan vektor lain di mana vektor ini tidak dapat dinormalisasi.

2. Vektor Posisi

Vektor posisi adalah vektor yang ujungnya berada di suatu titik koordinat tertentu dengan pangkal berada di titik koordinat (0, 0), sedangkan letak titik ujungnya berada di satu titik tertentu (selain titik O). Vektor posisi biasanya memuat vektor satuan i dan j.

3. Vektor Satuan

Vektor satuan merupakan vektor yang panjangnya satu satuan. Biasanya vektor satuan hanya digunakan untuk menunjukkan arah.

Suatu vektor dengan panjang sembarang dapat dibagi oleh panjang untuk mendapatkan vektor satuan. Hal ini dikenal sebagai "normalisasi" suatu vektor.

Vektor satuan juga dilambangkan dengan sebuah topi" di atas huruf "a" kecil.

4. Vektor Basis

Vektor basis merupakan suatu vektor yang panjangnya satu satuan, tetapi arahnya searah dengan sumbu koordinat.

Operasi Vektor

Ilustrasi Operasi Vektor. Foto: Pexels

Berikut penjelasan mengenai operasi vektor merangkum dari Modul Matematika Peminatan Kelas X yang disusun Entis Sutisna, S.Pd.

1. Menentukan Hasil Kali suatu Vektor dengan Skalar

Vektor dapat dioperasikan dengan skalar. Karena skalar hanya mempunyai besar maka perkalian vektor dengan skalar hanya akan berpengaruh pada besar vektor saja, sedangkan arahnya tetap.

Hasil kali vektor 𝑎 dengan skalar 2 akan menghasilkan vektor dengan besar 2 kalinya sedangkan arahnya tetap. Secara umum, hasil kali vektor 𝑎 dengan skalar k akan menghasilkan vektor 𝑘.𝑎 yang besarnya k kali besar 𝑎 dan arahnya sama dengan 𝑎 bila k positif, dan berlawanan arah 𝑎 bila k negatif.

Menentukan Hasil Kali suatu Vektor dengan Skalar. Foto: Modul Matematika Peminatan Kelas X oleh Entis Sutisna, S.Pd.

Dari gambar terlihat bahwa vektor w1 searah dengan vektor 𝑢⃗ dan panjangnya 2 kali vektor 𝑢⃗. Vektor w1= 2𝑢⃗. Begitupula dengan vektor w2 dan w3. Sementara untuk vektor w4 arahnya berlawanan dengan arah vektor 𝑢⃗ dan panjangnya 2 kali vektor 𝑢⃗ sehingga vektor w4 = -2𝑢⃗.

Contoh soalnya adalah sebagai berikut:

Buktikan bahwa vektor 𝑢⃗ =(2/1) sejajar dengan vektor 𝑣 =(6/3)

Alternatif Penyelesaian:

Dua buah vektor akan sejajar jika memiliki arah yang sama atau arah berlawanan dan besarnya bisa berbeda. Dua vektor yang sejajar dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian skalar dengan vektor.

𝑢⃗ = (2/1)

𝑣 = (6/3) = (3.2/3.1) = 3 . (2/1) = 3𝑢⃗

Vektor 𝑣 bisa dinyatakan dalam bentuk perkalian skalar dengan vektor 𝑢⃗ , yaitu 𝑣 = 3𝑢⃗ atau vektor 𝑢⃗ dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian skalar dengan vektor 𝑣 , yaitu 𝑢⃗ =1/3𝑣 .

Ini berarti vektor 𝑢⃗ searah dengan vektor 𝑣 dan panjangnya 1/3 𝑣 atau vektor 𝑣 searah dengan vektor 𝑢⃗ dan panjangnya 3 kali vektor 𝑢⃗. Jadi vektor 𝑢⃗ sejajar dengan vektor 𝑣 .

2. Penjumlahan Vektor

Anita dan Alya merencanakan dari Jakarta ke Bandung. Jika naik kereta api mereka akan melalui Purwakarta dahulu, kemudian ke Bandung. Tetapi jika naik pesawat, dia dapat terbang langsung dari Jakarta ke Bandung.

Anita dan Alya menggambarkan rute perjalanannya dalam bentuk vektor sebagai berikut, dengan J mewakili Jakarta, P mewakili Purwakarta dan B mewakili Bandung.

Vektor Rute Jakarta-Bandung. Foto: Modul Matematika Peminatan Kelas X oleh Entis Sutisna, S.Pd.

Dari gambar di atas, rute Jakarta-Purwakarta diwakili oleh vektor JP = u1 dan dilanjutkan dengan rute Purwakarta-Bandung yang diwakili oleh vektor PB = u2.

Dari gambar yang dibuat Anita dan Alya, rute perjalanan naik kereta dari Jakarta–Purwakarta–Bandung sama hasilnya dengan rute perjalanan naik pesawat Jakarta-Bandung. JP + PB = JB.

Masalah di atas merupakan masalah penjumlahan dua vektor atau resultan dari dua vektor.

Untuk menggambar jumlah dua vektor, dapat dilakukan dengan cara seperti di atas, yaitu menghimpitkan ujung vektor pertama dengan pangkal vektor kedua, hasilnya adalah vektor dengan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua. Cara ini disebut aturan segitiga.

Baca Juga: Contoh Soal Vektor Matematika Metode Segitiga dan Pembahasannya

Selain itu dapat juga dilakukan dengan menghimpitkan pangkal kedua vektor u1 dan u2. Jumlah kedua vektor adalah diagonal jajargenjang yang sisi-sisinya adalah u1 dan u2. Cara ini disebut aturan jajargenjang. Berikut gambarnya:

Aturan Jajargenjang dalam vektor Matematika. Foto: Modul Matematika Peminatan Kelas X oleh Entis Sutisna, S.Pd.

Nah, demikianlah penjelasan mengenai vektor dalam matematika. Dalam kehidupan sehari-hari, vektor banyak digunakan dalam berbagai aktivitas.

Salah satunya contoh vektor dalam kehidupan sehari-hari adalah penggunaan GPS (Global Positioning System).

(DEL)